Лекции::

Дополнительно:

Прямое произведение множеств, отношения и функции

Пусть f:X®Y.

Определение. Функция f называется инъективной, если для любых  х1, х2, y из y=f(x1) и  y=f(x2) следует, что x1=x2, то есть каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента.

Определение. Функция f называется сюръективной, если для любого элемента yОY существует элемент хОХ такой, что y=f(x).

Определение. Функция f называется биективной, если f одновременно сюръективна и инъективна.

Рисунок 9 иллюстрирует понятия отношения, функции, инъекции, сюръекции и биекции.

Image
Пример 9.

Рассмотрим три функции, заданные на множестве действительных чисел и принимающих значение в этом же множестве:

  1. функция f(x)=ex  - инъективна, но не сюръективна;
  2. функция f(x)=x3-x – сюръективна, но не инъективна;
  3. функция f(x)=2x+1 – биективна.

Определение. Суперпозиция функций – функция, полученная из системы функций f, f1, f2, …, fk некоторой подстановкой функций f1, f2, …, fk во внешнюю функцию f  вместо переменных и переименованиями переменных.

Пример 10.

Класс элементарных функций есть множество всех суперпозиций так называемых основных элементарных функций (одноместных: степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических) и двуместных функций, представляющих арифметические операции.

предыдущаяследующая