Элементы и множества
Пример 1. Это может быть множество студентов, присутствующих на лекции, множество четных чисел и т. д.
Определение. Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А является элементом В. Если А является подмножеством В и В не является подмножеством А, то говорят, что А является строгим (собственным) подмножеством В.
В первом случае обозначают
, во втором случае 
.
Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым Ж, оно является подмножеством любого множества. Множество U называется универсальным, то есть все рассматриваемые множества являются его подмножеством.
Рассмотрим два определения равенства множеств.
Определение. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, пишут А=В, А№В – в противном случае.
Определение. Множества А и В считаются равными, если
Способы задания множеств:
- перечислением элементов: М={a1, a2, …, ak}, т. е. списком своих элементов;
- характеристическим предикатом: М={x | P(x)}(описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы);
- порождающей процедурой: M={ x | x=f}, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Например, множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки.
Замечание.При задании множеств перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. Перечислением можно задавать только конечные множества (число элементов множества конечно, в противном случае множество называется бесконечным). Характеристический предикат – это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения или процедуры, возвращающей логическое значение. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит. Порождающая процедура – это процедура, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определяемого множества. Бесконечные множества задаются характеристическим предикатом или порождающей процедурой.
предыдущаяследующая